📖 Documentación - El Castillo de Ecos

🌟 1. Introducción

El Castillo de Ecos es una aplicación de análisis de secuencias numéricas que utiliza algoritmos avanzados para detectar patrones matemáticos y predecir valores futuros.

La aplicación soporta múltiples tipos de progresiones y secuencias, incluyendo:

✅ Progresiones Aritméticas
✅ Progresiones Geométricas
✅ Secuencias Cuadráticas
✅ Secuencias Cúbicas
✅ Secuencias de Fibonacci

🔮 2. Tipos de Patrones

2.1 Progresión Aritmética

Una progresión aritmética es una secuencia donde cada término se obtiene sumando una constante (diferencia común) al término anterior.

Definición:

aₙ = a₁ + (n-1)d

Donde d es la diferencia común.

Secuencia	Diferencia	Siguiente
3, 6, 9, 12	+3	15
10, 7, 4, 1	-3	-2
5, 5, 5, 5	0	5

2.2 Progresión Geométrica

Una progresión geométrica es una secuencia donde cada término se obtiene multiplicando el término anterior por una constante (razón común).

Definición:

aₙ = a₁ × r^(n-1)

Donde r es la razón común.

Secuencia	Razón	Siguiente
2, 4, 8, 16	×2	32
1, 3, 9, 27	×3	81
16, 8, 4, 2	×0.5	1

2.3 Secuencia Cuadrática

Las secuencias cuadráticas siguen un patrón polinomial de segundo grado. Se caracterizan por tener segundas diferencias constantes.

Definición:

aₙ = an² + bn + c

Las segundas diferencias son constantes e iguales a 2a.

Secuencia	Descripción	Siguiente
1, 4, 9, 16, 25	Cuadrados perfectos (n²)	36
1, 3, 6, 10, 15	Números triangulares	21

2.4 Secuencia de Fibonacci

En una secuencia de Fibonacci, cada término es la suma de los dos anteriores.

Definición:

Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂

Con valores iniciales F₁ y F₂ definidos.

Secuencia	Descripción	Siguiente
1, 1, 2, 3, 5, 8	Fibonacci clásico	13
2, 1, 3, 4, 7, 11	Secuencia de Lucas	18

📐 3. Fundamentos Matemáticos

3.1 Método de Diferencias

El algoritmo utiliza el método de diferencias sucesivas para identificar el tipo de secuencia:

Primera diferencia: Δ¹aₙ = aₙ₊₁ - aₙ

Segunda diferencia: Δ²aₙ = Δ¹aₙ₊₁ - Δ¹aₙ

Tercera diferencia: Δ³aₙ = Δ²aₙ₊₁ - Δ²aₙ

Si Δ¹ es constante → Progresión Aritmética
Si Δ² es constante → Secuencia Cuadrática
Si Δ³ es constante → Secuencia Cúbica

3.2 Detección de Razón Geométrica

Para secuencias geométricas, calculamos la razón entre términos consecutivos:

r = aₙ₊₁ / aₙ

Si todas las razones son iguales, es una progresión geométrica.

3.3 Reconocimiento de Fibonacci

Para detectar secuencias tipo Fibonacci, verificamos si:

aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₋₂ para todo n ≥ 3

🔧 4. Referencia de API

POST /api/analyze

Analiza una secuencia y detecta su patrón.

{
  "sequence": [3, 6, 9, 12]
}
        

POST /api/predict-multiple

Predice múltiples valores futuros.

{
  "sequence": [1, 2, 4, 8],
  "count": 5
}
        

GET /api/statistics

Obtiene estadísticas de uso.

GET /api/history

Obtiene el historial de análisis.

DELETE /api/history

Limpia el historial de análisis.

GET /api/health

Verifica el estado del servidor.

💡 5. Ejemplos de Uso

5.1 Análisis Básico

const response = await fetch('/api/analyze', {
  method: 'POST',
  headers: { 'Content-Type': 'application/json' },
  body: JSON.stringify({ sequence: [3, 6, 9, 12] })
});

const result = await response.json();
// { success: true, pattern: 'arithmetic', nextValue: 15 }
      

5.2 Predicciones Múltiples

const response = await fetch('/api/predict-multiple', {
  method: 'POST',
  headers: { 'Content-Type': 'application/json' },
  body: JSON.stringify({ sequence: [1, 1, 2, 3, 5], count: 5 })
});

const result = await response.json();
// predictions: [8, 13, 21, 34, 55]
      

⚡ 6. Rendimiento

La aplicación está optimizada para manejar secuencias grandes de manera eficiente:

Tamaño de Secuencia	Tiempo Típico
100 elementos	< 1ms
1,000 elementos	< 10ms
10,000 elementos	< 100ms
100,000 elementos	< 500ms

El algoritmo tiene complejidad O(n) para la mayoría de detecciones de patrones, donde n es la longitud de la secuencia.